Permütasyon ve kombinasyon farkı nedir? Tek soru: sıra önemli mi?
TYT ve AYT'de öğrencilerin en çok zorlandığı konulardan biri permütasyon ve kombinasyon. Formüller aslında basit. Asıl sorun, bir soruyu okuyunca hangisinin kullanılacağına karar vermek. Bu yazıda o kararı tek bir soruya indireceğiz: Sıra önemli mi?
Önce temel: Çarpma ilkesi
Her şeyin temeli bu: Bir iş art arda yapılan adımlardan oluşuyorsa, her adımın seçenek sayıları çarpılır.
3 tişört, 2 pantolon ve 2 ayakkabın var. Kaç farklı kombin yapabilirsin? 3 × 2 × 2 = 12. (Ve evet, sabah dolap önünde 20 dakika geçirmenin bilimsel açıklaması bu.)
Permütasyon: sıra önemliyse
Permütasyon, nesneleri sıralama/dizme sayısıdır. Sıra değişince sonuç değişiyorsa permütasyondur.
5 kişilik bir kulüpten bir başkan ve bir başkan yardımcısı seçilecek. Kaç farklı şekilde seçilebilir?
Ali başkan-Ayşe yardımcı ile Ayşe başkan-Ali yardımcı farklı durumlar. Sıra (görev) önemli.
Kombinasyon: sıra önemsizse
Kombinasyon, nesneler arasından seçim/grup oluşturma sayısıdır. Sıra değişince sonuç aynı kalıyorsa kombinasyondur.
Aynı 5 kişiden 2 kişilik bir komisyon seçilecek. Kaç farklı şekilde seçilebilir?
{Ali, Ayşe} ile {Ayşe, Ali} aynı komisyon. Permütasyondaki her grup 2! = 2 kez sayılmıştı, o yüzden 2'ye böldük.
Hangisi? Karar tablosu
| Soruda geçen ifade | Kullan | Neden? |
|---|---|---|
| Sıraya dizme, fotoğraf için yan yana durma | Permütasyon | Yer değişince dizilim değişir |
| Başkan, yardımcı, sekreter seçme | Permütasyon | Görevler farklı |
| Rakamları farklı üç basamaklı sayı yazma | Permütasyon | 123 ≠ 321 |
| Şifre, plaka, telefon numarası | (Tekrarlı) permütasyon | Sıra önemli |
| Komisyon, takım, grup oluşturma | Kombinasyon | Üyeler eşit statüde |
| Torbadan aynı anda top çekme | Kombinasyon | Çekiliş sırası yok |
| Soru seçme (10 sorudan 7'si) | Kombinasyon | Hangi sırayla seçtiğin önemsiz |
| n noktadan geçen doğru/üçgen sayısı | Kombinasyon | AB doğrusu = BA doğrusu |
| Tokalaşma (herkes birbiriyle bir kez) | Kombinasyon C(n, 2) | Ali-Veli tokalaşması = Veli-Ali |
Sık kullanılan özel durumlar
ANANAS kelimesinin harfleri ile kaç farklı 6 harfli dizilim yazılabilir? (3 A, 2 N, 1 S)
12 kişilik bir sınıfta herkes birbiriyle bir kez tokalaşırsa kaç tokalaşma olur?
Olasılıkla bağlantısı
Permütasyon ve kombinasyon, olasılık sorularında “tüm durumları” ve “istenen durumları” saymanın aracıdır.
Sayısal Loto'da 90 sayıdan 6'sı seçilir. Tüm durumlar C(90, 6) = 622.614.630. Tek bir kuponla 6 bilme olasılığı yaklaşık 600 milyonda bir. Bu sayıyı bilmek, hayal kurmayı engellemez ama bütçe planını kesin değiştirir.
Özet
- Sıra önemli → permütasyon: P(n, r) = n! / (n − r)!
- Sıra önemsiz → kombinasyon: C(n, r) = n! / (r!(n − r)!)
- C = P / r! (her grup r! kez sayılmıştı)
- “En az bir” → tümü − hiç olmayan.
- Şifre kilidi aslında permütasyon kilididir.
Sık sorulan sorular
Permütasyon ile kombinasyon arasındaki fark nedir?
Permütasyonda sıra önemlidir (AB ile BA farklıdır), kombinasyonda sıra önemsizdir (AB ile BA aynı gruptur). Permütasyon sıralama ve dizme, kombinasyon seçme ve grup oluşturma sorularında kullanılır.
Permütasyon formülü nedir?
n farklı nesneden r tanesinin sıralanma sayısı P(n, r) = n! / (n − r)!'dir. n nesnenin tamamının sıralanma sayısı n!'dir.
Kombinasyon formülü nedir?
n farklı nesneden r tanesinin seçilme sayısı C(n, r) = n! / (r! · (n − r)!)'dir. Ayrıca C(n, r) = P(n, r) / r! şeklinde de hesaplanabilir.
Şifre kilidi permütasyon mu kombinasyon mu?
Şifre kilitlerinde sıra önemlidir (1-2-3 ile 3-2-1 farklı şifredir) ve rakamlar tekrar edebilir, bu yüzden aslında tekrarlı permütasyondur. Günlük dilde 'kombinasyon kilidi' denmesi matematiksel olarak yanlıştır.
C(n, 0) ve C(n, n) neden 1'dir?
n kişiden hiç kimseyi seçmemenin tek bir yolu vardır, n kişiden herkesi seçmenin de tek bir yolu vardır. Formülde bu sonuç 0! = 1 olduğu için çıkar.
Tekrarlı permütasyon nedir?
İçinde özdeş nesneler bulunan dizilişlerdir. n nesneden a tanesi, b tanesi... özdeşse diziliş sayısı n! / (a! · b! · ...) olur. Örneğin ANANAS kelimesinin harfleri 6! / (3! · 2!) = 60 farklı şekilde dizilir.