0! neden 1? Sıfır faktöriyeli üç farklı yoldan anlıyoruz
Faktöriyel konusunu ilk öğrendiğinde herkes aynı yerde durur: “5! = 120, anladım. 1! = 1, tamam. Peki 0! neden 1? Sıfırı çarpınca sıfır olmuyor muydu?” Haklı bir itiraz. Bu yazıda 0! = 1 eşitliğini ezberlemeden, üç farklı yoldan anlayacağız.
Faktöriyel nedir?
n! (okunuşu: “n faktöriyel”), 1'den n'ye kadar olan tüm pozitif tam sayıların çarpımıdır.
Anlamı da çok somut: n! sayısı, n farklı nesneyi yan yana kaç farklı şekilde dizebileceğini söyler. 3 arkadaş bir fotoğraf için yan yana dizilecekse 3! = 6 farklı poz çıkar.
| n | n! | Anlamı |
|---|---|---|
| 0 | 1 | Hiç kimseyi dizmenin 1 yolu var |
| 1 | 1 | 1 kişi tek şekilde durur |
| 2 | 2 | AB, BA |
| 3 | 6 | ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA |
| 4 | 24 | 4 kişilik aile fotoğrafı |
| 5 | 120 | 5 kitaplık raf düzeni |
| 10 | 3.628.800 | 10 kişilik sıra: 3,6 milyon farklı dizilim |
1. yol: Örüntüyü geriye doğru takip et
Faktöriyelin en kullanışlı özelliği şudur: her faktöriyel, bir öncekinin bir sayıyla çarpılmış hâlidir.
Bunu tersine çevirirsek, bir faktöriyelden bir öncekine inmek için bölmemiz yeterli:
Merdivenden inerken her basamakta bölüyoruz ve son basamakta tertemiz bir 1 buluyoruz. 0! = 1 olmasaydı bu merdivenin son basamağı kırık olurdu.
2. yol: Hiç kimseyi sıraya dizmek
n! sayısının “n kişiyi sıraya dizme sayısı” olduğunu söylemiştik. O zaman soru şu: 0 kişiyi kaç farklı şekilde sıraya dizebilirsin?
Cevap sıfır değil, bir. “Hiçbir şey yapmamak” da bir düzenlemedir ve bunun tek bir yolu vardır. Boş bir rafa kitap dizmenin tek bir yolu vardır: rafı boş bırakmak. Bu yüzden 0! = 1.
3. yol: Kombinasyon formülü bunu şart koşar
n kişiden r kişilik bir grup seçme sayısı şu formülle bulunur (detaylar için permütasyon ve kombinasyon yazısına bakabilirsin):
5 kişilik bir sınıftan 5 kişiyi seçmenin kaç yolu var? Açıkça 1: herkesi seçersin. Formüle koyalım:
Sonucun 1 çıkması için 0! = 1 olmak zorunda. 0! = 0 deseydik payda 0 olur ve formül çökerdi. Matematikçiler 0! = 1'i keyfine göre seçmedi; bütün formüllerin tutarlı çalışması bunu gerektiriyor.
Neden “sıfırla çarpınca sıfır” olmuyor?
Buradaki yanılgı şu: 0! hesabında 0 ile çarpma yapılmaz. Faktöriyel 1'den n'ye kadar olan sayıları çarpar; n = 0 olunca çarpılacak hiçbir sayı kalmaz. Hiç sayı çarpmamanın sonucu ise çarpmanın etkisiz elemanı olan 1'dir. (Hiç sayı toplamamanın sonucu nasıl 0 ise, hiç sayı çarpmamanın sonucu da 1'dir.) Matematikçiler buna “boş çarpım” der.
Sınavda faktöriyel soruları
(8! − 7!) / 6! işleminin sonucu kaçtır?
Püf noktası: büyük faktöriyelleri en küçük faktöriyel cinsinden yaz, sonra ortak paranteze al. 8!'i tek tek çarpmaya kalkan kişi süreyi kaybeder.
Özet
- 0! = 1 ve 1! = 1.
- Örüntü: n! = n × (n−1)! kuralı 0! = 1'i zorunlu kılar.
- Sıralama: 0 nesneyi dizmenin tek yolu vardır.
- Kombinasyon: C(n, n) = 1 olması için 0! = 1 olmalıdır.
- Negatif sayıların faktöriyeli tanımsızdır.
Sık sorulan sorular
0 faktöriyel kaçtır?
0! = 1'dir. Bu bir ezber değil, faktöriyel tanımının ve n! = n × (n−1)! kuralının zorunlu sonucudur.
1 faktöriyel kaçtır?
1! = 1'dir. Yani hem 0! hem de 1! 1'e eşittir.
Faktöriyel nedir?
n! (n faktöriyel), 1'den n'ye kadar olan tüm pozitif tam sayıların çarpımıdır. Örneğin 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120. n farklı nesnenin kaç farklı şekilde sıralanabileceğini gösterir.
Negatif sayıların faktöriyeli var mı?
Hayır. Lise matematiğinde faktöriyel sadece doğal sayılar (0, 1, 2, 3, ...) için tanımlıdır. (−1)! gibi ifadeler tanımsızdır.
0! = 1 olmasaydı ne olurdu?
Kombinasyon formülü bozulurdu. Örneğin 5 kişiden 5 kişi seçmenin 1 yolu vardır ama C(5,5) = 5!/(5!·0!) formülü ancak 0! = 1 ise 1 sonucunu verir.