Üslü ve köklü sayılar: kurallar, sık hatalar ve karekök nasıl alınır?
Üslü ve köklü sayılar, 8. sınıftan (LGS) başlayıp TYT'ye ve AYT'ye kadar her sınavda karşına çıkan temel konular. Google Trends verilerine göre “karekök”, “üslü sayılar” ve “köklü sayılar” aramaları her yıl Eylül sonu ile Ekim başında, yani okullar açıldığında zirve yapıyor. Bu yazıyı kural listesi + hata avcısı olarak kullanabilirsin.
Üslü sayı nedir?
aⁿ ifadesi, a sayısının kendisiyle n kez çarpımı demektir. a'ya taban, n'ye üs (kuvvet) denir.
Üslü sayılar kuralları
| Kural | Formül | Örnek |
|---|---|---|
| Çarpma (aynı taban) | aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ | 2³ · 2⁴ = 2⁷ = 128 |
| Bölme (aynı taban) | aᵐ ÷ aⁿ = aᵐ⁻ⁿ | 5⁶ ÷ 5⁴ = 5² = 25 |
| Üssün üssü | (aᵐ)ⁿ = aᵐ·ⁿ | (3²)³ = 3⁶ = 729 |
| Çarpımın üssü | (a·b)ⁿ = aⁿ · bⁿ | (2·5)³ = 8 · 125 = 1000 |
| Sıfırıncı kuvvet | a⁰ = 1 (a ≠ 0) | 2026⁰ = 1 |
| Negatif üs | a⁻ⁿ = 1 / aⁿ | 2⁻³ = 1/8 |
| Kesirli üs | a^(m/n) = ⁿ√(aᵐ) | 8^(2/3) = (∛8)² = 4 |
İşaret kuralları
- Negatif sayının çift kuvveti pozitiftir: (−3)² = 9, (−1)¹⁰⁰ = 1
- Negatif sayının tek kuvveti negatiftir: (−2)³ = −8, (−1)⁹⁹ = −1
Tabanları eşitleme
Üslü denklemlerde amaç tabanları eşitlemektir. Tabanlar eşitlenince üsler eşitlenir.
4ˣ = 32 ise x kaçtır?
Tabanları eşitleyemediğin durumlarda (örneğin 2ˣ = 7) logaritma devreye girer.
Köklü sayılar ve karekök
Karekök, kare almanın tersidir: √a, karesi a olan negatif olmayan sayıdır.
Kareler tablosu (ezberle, çok işine yarar)
| 1² = 1 | 6² = 36 | 11² = 121 | 16² = 256 |
| 2² = 4 | 7² = 49 | 12² = 144 | 17² = 289 |
| 3² = 9 | 8² = 64 | 13² = 169 | 18² = 324 |
| 4² = 16 | 9² = 81 | 14² = 196 | 19² = 361 |
| 5² = 25 | 10² = 100 | 15² = 225 | 20² = 400 |
Kök dışına çıkarma
Tam kare olmayan bir sayının kökünü sadeleştirmek için içindeki en büyük tam kareyi bul:
En büyük tam kareyi göremiyorsan asal çarpanlara ayır. Her çift, dışarı tek olarak çıkar (yukarıdaki çizimdeki “çiftler kulübü”):
Hesap makinesiz karekök tahmini
√30 kaç? 30, iki tam karenin arasında: 25 < 30 < 36. O hâlde 5 < √30 < 6. Daha hassas tahmin için:
Formül: √(a² + b) ≈ a + b / (2a). Küçük b değerlerinde çok iyi sonuç verir. Sınavda “√30 hangi iki tam sayı arasındadır?” gibi sorularda saniyeler kazandırır.
Köklü sayılarda işlemler
| İşlem | Kural | Örnek |
|---|---|---|
| Çarpma | √a · √b = √(a·b) | √2 · √8 = √16 = 4 |
| Bölme | √a / √b = √(a/b) | √50 / √2 = √25 = 5 |
| Toplama | Sadece kök içleri aynıysa | 3√2 + 5√2 = 8√2 |
| Paydayı rasyonel yapma | Pay ve paydayı √a ile çarp | 6/√3 = 6√3/3 = 2√3 |
Özet
- Aynı tabanda çarpmada üsler toplanır, bölmede çıkarılır.
- a⁰ = 1, a⁻ⁿ = 1/aⁿ.
- (−2)² = 4 ama −2² = −4.
- Kök dışına çıkarma: en büyük tam kareyi bul ya da asal çarpanlara ayır.
- Kök toplamaya dağılmaz.
Sık sorulan sorular
Karekök nasıl alınır?
Sayı tam kare ise karesi o sayıyı veren pozitif sayı bulunur (√81 = 9). Tam kare değilse sayı, bir tam kare ile başka bir sayının çarpımı olarak yazılır ve tam kare kökün dışına çıkarılır: √50 = √(25 · 2) = 5√2.
Kök dışına nasıl çıkarılır?
Sayıyı asal çarpanlarına ayır. Karekökte her iki özdeş çarpan kök dışına bir tane olarak çıkar, eşi olmayanlar içeride kalır. √72 = √(2·2·2·3·3) = 2·3·√2 = 6√2.
Bir sayının sıfırıncı kuvveti neden 1'dir?
aⁿ ÷ aⁿ = 1'dir ve üslü bölme kuralına göre aⁿ ÷ aⁿ = aⁿ⁻ⁿ = a⁰'dır. Bu yüzden sıfırdan farklı her a için a⁰ = 1'dir. 0⁰ ise belirsizdir.
Negatif üs ne demek?
a⁻ⁿ = 1 / aⁿ demektir. Örneğin 2⁻³ = 1/8. Negatif üs sayıyı negatif yapmaz, sadece kesrin paydasına gönderir.
(−2)² ile −2² aynı mı?
Hayır. (−2)² = (−2)·(−2) = 4 iken −2² = −(2·2) = −4'tür. Parantez yoksa üs sadece sayıya uygulanır, eksi işareti dışarıda kalır.
√(a + b) = √a + √b olur mu?
Hayır. √(9 + 16) = √25 = 5 iken √9 + √16 = 3 + 4 = 7'dir. Kök, toplamaya dağılmaz; sadece çarpma ve bölmeye dağılır.